## 简介 含有一个未知数，未知数最高次数是 $2$ 的整式组成的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$。 ## 求根公式 ### 结论 令 $\Delta=b^2-4ac$，若 - $\Delta >0$：此时有两个不等的实数根 $x_1=\cfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a},x_2\cfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$； - $\Delta=0$：此时有两个相等的实数根（或称一个实数根）$x=\cfrac{-b}{2a}$； - $\Delta<0$：方程在实数范围内无解。 ### 推导 采用配方法。先移项，将二次项系数化为 $1$，再利用等式的基本性质与完全平方公式配出平方。 $ \begin{aligned} ax^2+bx&=-c \\ x^2+\cfrac{b}{a}x&=\cfrac{-c}{a} \\ x^2+\cfrac{b}{a}x+\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2&=\cfrac{-c}{a}+\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2 \\ \left(x+\cfrac{b}{2a}\right)^2&=\cfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\ \end{aligned} $ 此时我们需要两侧开根，但是不要忽略特殊情况：$b^2-4ac<0$。当这个值小于 ${} 0$ 时，$\sqrt{b^2-4ac}$ 在实数范围内不存在，因此该方程在实数范围内无解。否则 $ \begin{aligned} x+\cfrac{b}{2a}&=\cfrac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x&=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} $ 由于 $0=-0$，我们再对 $b^2-4ac$ 是否等于 $0$ 进行分类讨论，就是上方结论的内容了。 ## 因式分解法 可以通过因式分解将方程 $ax^2+bx+c=0$ 的左项分解成两个式子的乘积。由于右项为 $0$，因此这两个乘积当中必有一个为 $0$，对两方程分别求解即可。 ## 韦达定理 ### 结论 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne 0)$ 两根分别为 $x_1,x_2$，则有 $ \begin{cases} x_1+x_2=-\cfrac{b}{a} \\ x_1\times x_2=\cfrac{c}{a} \end{cases} $ ### 推导 由求根公式可以得出 $x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，有 $ \begin{cases} x_1+x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\cfrac{b}{a} \\ x_1\times x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times \cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{c}{a} \end{cases} $