> [!quote] 作者声明
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> 「匀变加速直线运动」实际上不存在，是好渴鹅自创的。本章内容可能存在重大错误或遗漏，遇到问题请理性反馈。
> [!abstract] 摘要
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> 众所周知，速度斜率不变（加速度不变）的直线运动叫做匀变速直线运动，高中只考这个，那有没有加速度斜率不变的匀速直线运动呢？
## 定义
可以看做 [[匀变速直线运动]] 的更高一维度的问题。
一个物体在 $t$ 的时间内位移为 $\Delta x$，则这段时间的平均速度 $\overline{v}=\cfrac{\Delta x}{t}$，平均加速度 $\overline{a}=\cfrac{\Delta v}{t}$，平均加加速度 $\overline{j}=\cfrac{\Delta a}{t}$（此处 $t$ 亦可写作 $t$）。当 $t\to 0$ 时，$\overline{v},\overline{a},\overline{j}$ 代表瞬时速度、加速度、加加速度。加加速度保持不变的直线运动叫做匀变加速直线运动。
## 位移公式
### 结论
若一个物体的初速度为 $v_0$，初加速度为 $a_0$，加加速度为 $j$，运动时长为 $t$，做匀变加速直线运动，则位移 $x=v_0t+\cfrac{1}{2}a_0t^2+\cfrac{1}{6}jt^3$。
### 推导
首先将加加速度 $j$ 的定义式进行变形。
$
\begin{aligned}
j&=\cfrac{\Delta a}{t} \\
\Delta a&=jt \\
a&=a_0+jt
\end{aligned}
$
我们可以得到，运动进行到 $t$ 时加速度 $a=a_0+jt$。我们知道，加速度函数是速度函数的导数，因此我们可以使用不定积分得到速度函数。
$
\int a_0+jt~\text dt=a_0t+\cfrac{1}{2}jt^2+C
$
（参考匀变速直线运动公式的推导）显然 $t=0$ 时速度的增量也为 $0$，因此我们确定积分常量 $C=0$。加上初速度 $v_0$，得到运动进行到 $t$ 时速度 $v=v_0+a_0t+\cfrac{1}{2}jt^2$。
因为速度函数又是位移函数的导数，因此我们继续使用不定积分得到位移函数。
$
\begin{aligned}
&~~~~~\int v_0+a_0t+\cfrac{1}{2}jt^2~\text dt \\
&=\int v_0~\text dt+\int a_0t~\text dt+\int\cfrac{1}{2}jt^2~\text dt
\end{aligned}
$
把所有的系数提到外面
$
\begin{aligned}
&~~~~~\int v_0~\text dt+\int a_0t~\text dt+\int\cfrac{1}{2}jt^2~\text dt \\
&=\int v_0~\text dt+\left(a_0\times\int t~\text dt\right)+\left(\cfrac{1}{2}j\int t^2~\text{dt}\right)
\end{aligned}
$
$v_0$ 是常数项，这个很好求积。其余两项可以使用 [[幂次法则]] 进行积分。
$
\begin{aligned}
&~~~~~\int v_0~\text dt+\left(a_0\times\int t~\text dt\right)+\left(\cfrac{1}{2}j\int t^2~\text{dt}\right) \\
&=v_0t+a_0\times\cfrac{t^2}{2}+\cfrac{1}{2}j\times\cfrac{t^3}{3}+C \\
&=v_0t+\cfrac{1}{2}a_0t^2+\cfrac{1}{6}jt^3+C
\end{aligned}
$
由于 $t=0$ 时，位移为 $0$，因此积分常数 $C$ 确定为 $0$。因此我们得到结论，若一个物体的初速度为 $v_0$，初加速度为 $a_0$，加加速度为 $j$，运动时长为 $t$，做匀变加速直线运动，则该过程内位移 $x=v_0t+\cfrac{1}{2}a_0t^2+\cfrac{1}{6}jt^3$。
## 平均速度
由 $\overline{v}=\cfrac{x}{t}$，上面已经求出了 $x$，那么代入即可。
$
\begin{aligned}
\overline{v}&=\cfrac{x}{t} \\
&=\cfrac{v_0t+\cfrac{1}{2}a_0t^2+\cfrac{1}{6}jt^3}{t} \\
&=v_0+\cfrac{1}{2}a_0t+\cfrac{1}{6}jt^2
\end{aligned}
$
因此我们得到平均速度 $\overline{v}=v_0+\cfrac{1}{2}a_0t+\cfrac{1}{6}jt^2$。
## 推广
我们要善于总结规律。
- 匀速直线运动：位移 $x=vt$。
- 匀变速直线运动：位移 $x=v_0t+\cfrac{1}{2}at^2$。
- 匀变加速直线运动：位移 $x=v_0t+\cfrac{1}{2}a_0t^2+\cfrac{1}{6}jt^3$。
而速度函数是位移函数的导数，加速度函数是速度函数的导数，加加速度函数是加速度函数的导数。对于速度的 $n$ 阶导数值不变的情况下，位移的 $1$ 阶导初始值为 $x_1$，$2$ 阶导初始为 $x_2$，……，$n$ 阶导初始值为 $x_n$（$x_n$ 不变），运动时长为 $t$，那么位移
$
\begin{aligned}
x&=x_1t+\cfrac{1}{2}x_2t^2+\cfrac{1}{2\times 3}x_3t^3+\cdots+\left(\cfrac{1}{\prod\limits_{i=1}^n i}\right)x_nt^n \\
&=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(\prod_{j=1}^{i}\cfrac{1}{j}\right)\cdot x_it^i\right] \\
&=\sum\limits_{i=1}^{n}\cfrac{x_it^i}{i!}
\end{aligned}
$