## 结论 初速度为 $v_0$，加速度为 $a$，时间为 $\Delta t$，则末速度 $ v=v_0+a\Delta t $ 位移 $ x=v_0\Delta t+\cfrac{1}{2}a\Delta t^2 $ 平均速度 $ \overline{v}=\cfrac{x}{\Delta t}=\cfrac{v_0+v}{2}=v_{t/2}=v_0+\cfrac{1}{2}a\Delta t $ 位移与速度的关系 $ 2ax=v^2-v_0^2 $ 以下令 $v_0$ 等于初始时间点，$v$ 为结束时间点。 ## 末速度 首先我们来看一下平均加速度的定义式 $ a=\cfrac{\Delta v}{\Delta t}=\cfrac{v-v_0}{t-t_0} $ $\Delta t$ 写作 $t$ 亦可。由于这里是匀变速直线运动，因此平均加速度就等于瞬时加速度。考虑变形，得到 $ \begin{aligned} v-v_0&=at\\ v&=v_0+at \end{aligned} $ ## 位移 不难发现 $t_0$ 到 $t$ 过程的位移就是图像与 $t$ 轴围成的面积。考虑定积分 $ \begin{aligned} x&=\int_{t_0}^{t}v_0+a(x-t_0)~\text dx \\ &=\int_0^{\Delta t}v_0+ax~\text dx \\ \end{aligned} $ 根据牛顿·布莱茨尼公式[^1]，我们可以先通过不定积分求出原函数，再进行作差 $ \begin{aligned} \int v_0+ax~\text dx=\int v_0~\text dx+\int ax~\text dx \end{aligned} $ $v_0$ 是常数项，积分结果为 $ \int v_0~\text dx=v_0x+C $ $ax$ 的话，我们可以先将 $a$ 提到外面，此时 $x^2$ 的积分结果就很清楚了 $ \int ax~\text dx=a\times\int x~\text dx=\cfrac{ax^2}{2}+C $ 把他们的结果相加，就得到了 $ \int v_0+ax~\text dx=v_0x+\cfrac{ax^2}{2}+C $ 现在我们已经求出了原函数 $F(x)=v_0x+\cfrac{ax^2}{2}+C$，我们用它们相减得到（$C$ 被干没了） $ \begin{aligned} x&=\int_0^{\Delta t}v_0+ax~\text dx\\ &=F(\Delta t)-F(0) \\ &=v_0\Delta t+\cfrac{1}{2}a\Delta t^2 \end{aligned} $ ## 平均速度 $ \begin{aligned} \overline{v}&=\cfrac{x}{\Delta t} \\ &=\cfrac{v_0+v}{2} \\ &=v_{t/2} \\ &=v_0+\cfrac{1}{2}a\Delta t \end{aligned} $ 首先平均速度的定义式就是 $\overline{v}=\cfrac{x}{\Delta t}$，这个无法证明，但是我们可以用来证明其它的公式。证明过程也非常简单 $ \begin{aligned} \cfrac{v_0+v}{2}&=\cfrac{2v_0+a\Delta t}{2} \\ &=v_0+\cfrac{1}{2}a\Delta t \\ &=v_{t/2} \\ &=\cfrac{v_0t+\cfrac{1}{2}a\Delta t^2}{t} \\ &=\cfrac{x}{\Delta t} \end{aligned} $ ## 位移速度 $ \begin{aligned} v^2-v_0^2&=(v_0+a\Delta t)^2-v_0^2 \\ &=(2v_0+a\Delta t)\times a\Delta t \\ &=2v_0a\Delta t+a^2\Delta t^2 \\ &=a\times (2v_0\Delta t+a\Delta t^2) \\ &=2a\times (v_0\Delta t+\cfrac{1}{2}a\Delta t^2) \\ &=2ax \end{aligned} $ ## 总结 与 $t$ 无关时优先使用位移速度公式，与 $t$ 有关优先使用平均速度公式，位移公式尽量少用，计算相对复杂。 [^1]: 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，并且存在原函数 $F(x)$ 其导数为 $f(x)$，则有 $\int\limits_a^bf(x)\text dx=F(b)-F(a)$。