## 结论 对于半径为 $R$ 的圆，其面积 $S=R^2\pi$。 ## 推导 我们都知道圆的方程的标准式为 $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$。但是由于一个圆的面积与它所处的位置没有关联，因此我们假定 $a=b=0$，即 $x^2+y^2=R^2$。 ![[circles-1.png#pic_center]] 利用等式的基本性质进行变形，可以得到 $y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$。由于圆的上半部分与下半部分面积相等，因此我们只计算上半部分的面积，结果乘 $2$ 即可。将 $y$ 积起来得到面积 $ S=2\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}~\text dx $ 这时我们发现不好直接求，因此需要转化。我们使用三角替换法。设当前在图像上的点与原点的连线与 $x$ 轴之间的夹角为 $\theta$，此时会形成直角三角形。已知斜边为 $R$，那么底边的长度，也是 $x$ 的坐标也为 $R\cos\theta$。 ![[circles-2.png#pic_center]] 我们将 $x=R\cos\theta$ 代入到 $\sqrt{R^2-x^2}$ 中，得到 $\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{R^2-R^2\sin^2\theta}=R\cos \theta$。代入原积分式中，得到面积 $ S=2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}R^2\cos^2\theta~\text d\theta $ 将 $R^2$ 提到外面去，得到 $ S=2R^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta~\text d\theta $ 利用公式 $\cos^2\theta=\cfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ 来进行简化，得到 $ \begin{aligned} S&=2R^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cfrac{1+\cos 2\theta}{2}~\text d\theta \\ &=R^2\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1~\text d\theta + \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos 2\theta\right) \end{aligned} $ $1$ 是常数项，因此括号内的第一项可以直接得到 $\pi$。对于后面的一项，有 $\int\cos\theta=\sin\theta+C$，用原函数作差可以得到 $ \begin{aligned} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos 2\theta&=(\sin\pi+C)-(\sin-\pi+C) \\ &=\sin\pi-\sin-\pi \\ &=0 \end{aligned} $ 因此面积 $ \begin{aligned} S&=R^2\left(\int_{-\pi/2}^{\pi/2}1~\text d\theta + \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos 2\theta\right) \\ &=R^2(\pi+0) \\ &=R^2\pi \end{aligned} $