> [!abstract] 摘要 > > 本文介绍了幂次法则，给出了其弱化版与普通版的证明，并通过求导与积分之间的关系成功证明了圆锥体积公式。 ## 简介 微积分当中的幂次法则是求导法则之一，它描述了幂函数的导数。具体而言，对于 $f(x)=x^n$（$n$ 为实数），则 $f(x)$ 的导数 $f'(x)=nx^{n-1}$。 ## 弱化版 先来弱化版试试水：求 $f(x)=x^2$ 的导数 ${} f'(x)$。 首先先从导数的定义入手，函数在某一点的导数就是该函数在这一点上的切线的斜率。我们知道在一条直线上任意取两点，斜率 $k=\cfrac{\Delta y}{\Delta x}$，其中 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是这两点的坐标之差。那么导数的定义就很简单了： $ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $ 将 $f(x)=x^2$ 代入进去，然后通过平方差公式分解成两个式子的乘积，再通过分数的基本性质进行约分，化简即可。 $ \begin{aligned} f'(x)&=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)\\ &= 2x \end{aligned} $ 因此，$f(x)=x^2$ 的导数 $f'(x)=2x$。 ## 证明 现在我们来证明 $f(x)=x^n$ （$n$ 为实数）的导数 $f'(x)=nx^{n-1}$。 首先我们根据导数的定义出发，将 $f(x)$ 代入进去。 $ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x} $ 然后我们使用广义二项式定理 $(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^\infty\binom{n}{i}a^{n-i}b^n$ 展开 $(x+\Delta)^n$，其中 $\binom{n}{i}$ 是广义二项式系数。 $ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{n}{i}x^{n-i}(\Delta x)^i-x^n}{\Delta x} $ 不难发现当 $i=0$ 的时候，$\binom{n}{i}x^{n-i}(\Delta x)^i=x^n$，因此把它提出来，正好与 $-x^n$ 形成了相反数，可以去掉。 $ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{\infty}\binom{n}{i}x^{n-i}(\Delta x)^i}{\Delta x} $ 通过分数的基本性质把 $\Delta x$ 约掉。 $ f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\sum\limits_{i=1}^{\infty}\binom{n}{i}x^{n-i}(\Delta x)^{i-1} $ 此时关键的一步来了：当 $\Delta x\to 0$ 时，只有当 $i=1$ 的时候 $(\Delta x)^{i-1}$ 才不为 $0$，可以发觉只有这时 $\binom{n}{i}x^{n-i}(\Delta x)^{i-1}$ 也不为 $0$，因此我们将求和去掉，将 $i=1$ 代入进去，得到 $ f'(x)=\binom{n}{1}x^{n-1}=nx^{n-1} $ 因此我们成功证明了幂次法则。 ## 积分 幂次法则是求导法则之一，但是幂次法则也可以是积分法则。我们知道求导与积分是一对互逆的运算。简单来说，假如函数 $f(x)$ 的导数是 $f'(x)$，那么对 $f'(x)$ 求积的值就等于原函数 $f(x)$ 的值加上积分常数，即 $\int f'(x)\text dx=f(x)+C$。 那么我们转换一下思路。既然 $f(x)=x^n$ 的导函数是 $f'(x)=nx^{n-1}$，那么我们对 $f'(x)$ 求积的值就等于 $f(x)$。即 $ \int nx^{n-1}~\text dx=x^n+C $ 当然，也有 $ \int x^{n}~\text dx=\cfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C $ 利用这个公式，我们可以轻松证明一个半径为 $r$ 高度也为 $r$ 的圆锥它的体积是 $\cfrac{1}{3}\pi r^3$。我们可以先对函数 $f(x)=\pi x^2$ 进行求积，$f(x)$ 代表每一个平面的面积，然后使用上述公式并化简即可（这里积分常数 $C=0$[^1]）。 定积分的值可以使用牛顿·布莱茨尼公式[^2]求，这里由于原函数当中左边界对应的值为 $0$，因此我们只用算右边界就行了。由于我们的 $f'(x)=x^2$ 正好是 $f(x)=\cfrac{1}{3}x^3$ 的导数，因此我们只需要计算 $f(r)$。 $ \begin{aligned} \int_0^r\pi x^2~\text dx&=\pi\times\int_0^r x^2~\text dx \\ &=\cfrac{1}{3}\pi r^3 \\ \end{aligned} $ 对于高度为 $h$ 且 $h\ne r$ 的圆锥，我们只需要使用「空间扭曲之术」（其实就是拿 $\cfrac{x}{h}$ 的比乘上 $r$ 来求出每一平面的面积）即可。 $ \begin{aligned} \int_0^h\pi\left(\cfrac{rx}{h}\right)^2~\text dx&=\int_0^h\pi\times\cfrac{r^2}{h^2}\times x^2~\text dx\\ &=\cfrac{\pi r^2}{h^2}\times\int_0^h x^2~\text dx \\ &=\cfrac{1}{3}h^3\times\cfrac{\pi r^2}{h^2} \\ &=\cfrac{1}{3}\pi r^2h \end{aligned} $ [^1]: 对于函数 $f(x)=x^n+k$，它的导函数 $f'(x)$ 均为 $nx^{n-1}$，而在求积的时候无法还原常数 $k$，因此红色部分不知道，即为积分常数 $C$。这里我们已经知道了红色部分的面积是 $0$，因此可以省略积分常数。 ![[幂次法则：C.png]] [^2]: 如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内连续，并且存在原函数 $F(x)$ 其导数为 $f(x)$，则有 $\int\limits_a^bf(x)\text dx=F(b)-F(a)$。