## 定理内容 对于任意反比例函数 $y=\cfrac{m}{x}$ $(m\ne 0)$ 和一次函数 $y=kx+b$ $(k\ne 0)$，它们间有两交点 $A,B$（保证有两个交点），一次函数交坐标轴于 $C,D$，证明 $AC=BD$。（此处 $C,D$ 交 $x$ 轴或 $y$ 轴均可，无影响） ## 代数证明 令 $C$ 为与 $y$ 轴交点，$D$ 为与 $x$ 轴交点，则 $C(0,b),D(\cfrac{-b}{k}, 0)$。 对于 $A,B$ $ \begin{cases} y=\cfrac{m}{x} \\ y=kx+b \end{cases} $ 联立得 $\cfrac{m}{x}=kx+b$，又交点 $x$ 坐标不为 $0$，因此 $ kx^2+bx-m=0 $ 令其两个根为 $x_1,x_2$，由 [[一元二次方程|韦达定理]] 得 $ \begin{cases} x_1+x_2=\cfrac{-b}{k}\cdots ① \\ x_1x_2=\cfrac{-m}{k}\cdots ② \end{cases} $ 令 $\Delta x_{AB}$ 表示为 $A$ 与 $B$ 之间的 $x$ 坐标之差，则 $ \begin{cases} \Delta x_{AC}=|x_1|\cdots ③ \\ \Delta x_{BD}=|x_2+\cfrac{b}{k}|\cdots ④ \end{cases} $ 由 $①$ 得， $ x_2+\cfrac{b}{k}=-x_1 $ 代入 $④$ 得 $ \Delta x_{BD}=|-x^1|=|x_1|-\Delta x_{AC} $ 又 $k_{BD}=k_{AC}$（在同一直线上），因此 $AC=BD$。 ## 几何证明 过 $A,B$ 作坐标轴的垂线段于 $E,F$ $ \begin{aligned} &~~~~~~0=0\\ &\Rightarrow k\cdot \cfrac{-b}{k}+b=0 \\ &\Rightarrow kx_2+b=-kx_1 \\ &\Rightarrow \cfrac{kx_2+b}{-x_1}=k \\ &\Rightarrow k_{EF}=k_{AB} \\ &\Rightarrow EF\parallel AB \\ &\Rightarrow 四边形~EFCA,EFBD~是平行四边形 \\ &\Rightarrow EF=AC=FB \\ &\Rightarrow AC=FB \end{aligned} $