> [!warning] 警告 > > 本笔记暂未完成，会在本周周末缓慢完成。 ## 第一题 ### 题面 #根式 #方程 #一元二次方程 #完全平方 #换元 #### 第一小题 已知 $\sqrt{21+n^2}+\sqrt{5+n^2}=8$，求 $n$ 的值。 #### 第二小题 已知 $\sqrt{n^2+46}+\sqrt{n^2+10}=18$，求 $n$ 的值。 ### 解法 #### 第一小题 > [!note] 注意 > > 好渴鹅使用了是在直接计算与简便方法直接折中的方式，换元法。使用换元法后可以使直接计算的复杂程度低于简便计算，且无脑。 > [!tip] 提示 > > 本题中的「得到」部分指「能推出」（即符号 $\Rightarrow$）而非「等价」，即 $A$ 能推出 $B$ 但 $B$ 不一定能推出 $A$。 首先我们发现两个根式里面，$21+n^2=(5+n^2)+16$，因此我们令 $m=5+n^2$，原式则可以变为 $\sqrt{m}+\sqrt{m+16}=8$。两边同时平方，得到 $2m+16+2\sqrt{m^2+16m}=64$。 $64$ 和根式移一下，得到 $2m-48=-2\sqrt{m^2+16m}$。再平方，得到 $ 4m^2+48^2-192m=4m^2+64m $ 此时方程就能解了，移项得到 $256m=2304$，解得 ${} m=9 {}$。代入 $m$ 的定义式中，得到 ${} n^2+5=9$，变形得到 $n^2=2$，最终解得 $n=\pm 2$。 **注意**：此时一定要将 $n$ 的所有值代入原式内进行验算，因为实际上运算平方会扩大解集，这也代表着所有解必定会在平方之后内的解集内，但是平方之后的解集内并不是所有解都能满足条件（即相反数的平方相等，立方没这个问题），因此需要验算。经过验算 $n=\pm 2$ 这个答案没有问题。 #### 第二小题 有了第一小题的经验，第二小题就很简单了。令 ${} m=n^2+10 {}$，则原式可以写成 ${} \sqrt{m}+\sqrt{m+36}=18 {}$。两边平方得到 ${} 2m+36+2\sqrt{m^2+36m}=324$。 $324$ 和根式移一下，得到 $2m-288=-2\sqrt{m^2+36m}$。再平方，得到 $ 4m^2+288^2-1152m=4m^2+144m $ 解得 $m=64$，代入 $m$ 的定义式的 $n^2+10=64$，简化为 $n^2=50$，解得 $n=\pm\sqrt{50}$，也就是 $n=\pm 5\sqrt{2}$。代入方程验算，均没有问题。 ### 总结 对于这种两个根号相加的复杂一元二次方程，如果你的计算能力不足，不喜欢太长的方程，由不会使用数形结合的方法求解，那么换元法就是一个不错的选择。需要注意的就是 [[#第一小题]] 的注意里面的内容，对于方程，如果两边同时平方了可能会扩大解集，这时候可以选择将求出的解代入进去验算。（同样有这种问题的还有绝对值方程，使用平方法的时候也需要注意） ## 第三题 ### 题面 #幂 #分类讨论 已知 $(m-1)^{m+2}=1$，求 $m$ 的值。 ### 解法 我们很容易可以猜出 $m=-2$ 为其中的一个解，因为一个不为 $0$ 的数的 $0$ 次方等于 $1$。但是如果你仅限于这样，那么等待你的就是一把大叉，毕竟答案不应该只有这么一个。对于本题，我们需要分类讨论思想。 - **第一种情况**：任意不为 $0$ 的数的 $0$ 次方为 $1$，那么则有 $\begin{cases}m-1\ne 0\\m+2=0\end{cases}$，解得 $m=-2$ 为其中一个解。 - **第二种情况**：$1$ 的任意次方仍为 $1$，那么有 $m-1=1$，解得 $m=2$ 为其中一个解。 - **第三种情况**：这也是最容易漏的一种情况，则是 $-1$ 的偶数次方为 $1$，有 $\begin{cases}m-1=-1\\2|(m+2)\end{cases}$，解得 $m=0$。 综上，$m$ 的值为 $-2,0$ 和 $2$。 ### 总结 好渴鹅在课上已经想出了第一二种情况，但是第三种情况始终没有思考出来，对于这个「偶数平方」的细节也需要加倍注意，不能在这种题目上丢分。 ## 第四题 #一元二次方程 ### 题面 已知 $x^2-3x+1=0$，求 $3x-1+\cfrac{1}{x^2+2}$ 的值。 ### 解法 首先我们肯定不会去解出方程之后代入，虽然简单又暴力，但是好渴鹅的垃圾运算水平不支持他使用这种解法，因此我们考虑对方程变形，得到 $x^2=3x-1$。 欸，思路不就来了吗？我们把 $x^2=3x-1$ 带入到代数式当中，其等价于 $3x-1+\cfrac{19}{3x+1}$，我们再通分、相加，正好使用平方差公式，得到 $\cfrac{9x^2-1+19}{3x+1}$，再将 $x^2=3x-1$ 代入其中就可以得到 $\cfrac{9(3x-1+2)}{3x+1}$，即 $9$。 ### 总结 本道题好渴鹅在课堂上已经想到了将 $x^2=3x-1$ 进行代入，但是好渴鹅在后面的想法不是通分相加，而是将其全部乘上 $3x+1$。虽然分母没有了但是仍然需要对方程进行求解，而上述方法就没有这个问题。因此我们对于含有分式的代数式一定要先通分，一个是为了防止算错，一个是查看是否不需要乘上分母也可以解决问题。 ## 第五题 #方程 #因式分解 ### 题面 已知 $\cfrac{n-5}{200}+\cfrac{n+3}{204}=4$，求 $n$ 的值。 ### 解法 首先我们不难发现，如果左边是 $2+2$ 的形式的话，那么 $n-5$ 就为 $2\times 200=400$，$n$ 的值就为 $205$，代入发现是对的。但是问题就来了：我们该怎样写出过程并证明答案有且仅有这么一个呢？ 此时我们可以进行中值换元。令 $n-1=m$，那么原式可以写成 $\cfrac{m-4}{200}+\cfrac{m+4}{204}=4$ 的形式。既然我们期盼左边为 $2+2$ 的形式，不如把 $4$ 进行移项，拆成 $2+2$ 的形式并放进分子，即 $\cfrac{m-4-400}{200}+\cfrac{m+4-208}{204}=0$，化简的得到 $\cfrac{m-404}{200}+\cfrac{m-404}{204}=0$。 不难发现它们的分子都相同，因此可以使用乘法分配律进行因式分解（即提公因式法），得到 $(\cfrac{1}{200}+\cfrac{1}{204})(m+m-404-404)=0$。由于前面两个分数相加肯定不为 $0$，那么后面一定为 $0$。最终解得 $m=404$。 这还没完，我们需要带回 $m$ 的定义里去，求出 $n$。由于 $n-1=m$，变形得到 $n=m+1$，即 $205$。 ### 总结 这种类型的题目已经做过很多次了，但是每次重新考到的时候都不知道如何求，其实本题就是一个很好的例子。对于绝大部分可以一眼看出的题目，我们都可以使用这种思路：通过移项使右边为 $0$ 然后使用因式分解（需要结合自己猜出的根）将左边分解为多个式子的乘积，此时就好做了。