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## 第一题
#因式分解 #十字相乘 #换元
### 题目
因式分解 $\left(x^2-4x+1\right)\left(x^2+3x+1\right)+10x^2$。
### 解法
乍一看，本题似乎无从下手；仔细一看，还不如乍一看。但是我们可以发现前面两个乘起来的多项式看起来似乎非常相像，只差了 $7x$，因此我们不如令 $A=x^2-4x+1$，那么原式就可以表示为 $A(A+7x)+10x^2$。
将这个式子展开，就可以得到 $A^2+7Ax+10x^2$。让我们来看一看可以通过什么方式进行因式分解呢？诶，二次三项式，使用十字相乘法最为方便。将 $10$ 拆成 $2\times 7$，此时 $2\times 1+7\times 1$ 正好为 $7$，凑出中间项
$
\begin{array}{ccc}
A & & 2x \\
& × & \\
A & & 5x
\end{array}
$
即 $(A+2x)(A+5x)$。再将 $A=x^2-4x+1$ 代入进去，得到答案 $\left(x^2-2x+1\right)\left(x^2+x+1\right)$，了吗？
发现 $x^2-2x+1$ 可以分解为 $(x-1)^2$，因此答案实际上是 $(x-1)^2(x^2+x+1)$。
### 总结
本题使用了精妙绝伦的换元法，使得一个复杂的式子可以快速展开（虽然与美公鸡这种直接全部展开的方法并无大异，但是省去了很多的计算），对一个又臭又长的式子将其视为整体之后就可以使用十字相乘法进行求解了。需要注意的是最后需要将换出的元给代入进去，还有看一看分解出来的整式是否能够继续进行因式分解。
## 第二题
#分母有理化 #因式分解
### 题目
化简 $\cfrac{\sqrt{15}+\sqrt{21}+\sqrt{25}+\sqrt{35}}{\sqrt 3+\sqrt 7+\sqrt{20}}$。
### 解法
首先，我们知道
$
\begin{cases}
\sqrt{15}=\sqrt 3\times\sqrt 5\\
\sqrt{21}=\sqrt 4\times\sqrt 7 \\
\sqrt{25}=\sqrt 5\times\sqrt 5\\
\sqrt{35}=\sqrt 5\times\sqrt 7
\end{cases}
$
因此我们就可以对分子使用提取公因式的方法来进行因式分解，得到 $\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)$。但是如何去掉分母就成了一个问题，因为 $\sqrt 3$、$\sqrt{7}$ 和 $\sqrt{20}$ 实在是想不出什么规律。
不过千万不要忘了——$\sqrt{20}=\sqrt{4}\times \sqrt 5=2\sqrt{5}$，我们对分母进行重新分组就可以得到分母其实上可以写成 $\left(\sqrt 3+\sqrt 5\right)+\left(\sqrt 5+\sqrt 7\right)$。因此，我们通过恒等变形得到了
$
原式=\cfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{7}\right)}{\left(\sqrt 3+\sqrt 5\right)+\left(\sqrt 5+\sqrt 7\right)}
$
看到这个式子，想到了什么没有？对了，我们有 $\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}=\cfrac{a+b}{ab}$，那么这里就是 $\cfrac{ab}{a+b}$ 的形式，我们取它的倒数就可以得到原式等于 $\cfrac{1}{\cfrac{1}{\sqrt 3+\sqrt 5}+\cfrac{1}{\sqrt 5+\sqrt 7}}$。
对分母的分母进行有理化，得到 $\cfrac{2}{\sqrt 5-\sqrt 3+\sqrt 7-\sqrt 5}$，也就是 $\cfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$。再进行分母有理化，即可得到 ${} \cfrac{2\left(\sqrt 3+\sqrt 7\right)}{4} {}$，也就是 $\cfrac{1}{2}(\sqrt 3+\sqrt 7)$。
### 总结
本题为分母有理化的最高境界题目，首先对分子进行了实数范围内的因式分解，然后对分母进行分组相加再做倒数，再通过平方差公式进行两次分母有理化即可求解。唯一的难点就是 $\sqrt{20}$ 等于 $2\sqrt 5$，这也是好渴鹅写本题时的拦路虎。
## 第三题
#方程 #分式 #裂项
### 题目
已知
$
\begin{cases}
xyz=1\\
x+\cfrac{1}{y}=3 \\
y+\cfrac{1}{z}=17
\end{cases}
$
求 $z+\cfrac{1}{x}$ 的值。
### 解法
首先，不难发现题目当中给出了我们 $x+\cfrac{1}{y}$，$y+\cfrac{1}{z}$，就是没有给出 $z+\cfrac{1}{x}$，这也就是我们要求的。因此我们毫不犹豫直接将它们三个全部乘起来，然后变形
$
\begin{aligned}
\left(x+\cfrac{1}{y}\right)\left(y+\cfrac{1}{z}\right)\left(z+\cfrac{1}{x}\right)&=\cfrac{xy+1}{y}\times\cfrac{yz+1}{z}\times\cfrac{zx+1}{x} \\
&=\cfrac{(xy+1)(yz+1)(zx+1)}{xyz} \\
&=\cfrac{x^2y^2z^2+xyz(x+y+z)+xy+xz+yx+1}{xyz} \\
\end{aligned}
$
由于 $xyz=1$，因此 $xy=\cfrac{1}{z}$，同理得到
$
=1+x+y+z+\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{y}+\cfrac{1}{z}
$
然后我们把 $x+\cfrac{1}{y}$ 放一起，$y+\cfrac{1}{z}$ 放一起，代入题目中的数就可以得到
$
=22+\left(z+\cfrac{1}{x}\right)
$
注意，我们最开始的 $\left(x+\cfrac{1}{y}\right)\left(y+\cfrac{1}{z}\right)\left(z+\cfrac{1}{x}\right)$ 实际上等于 $51\left(z+\cfrac{1}{x}\right)$。此时就可以形成方程
$
51\left(z+\cfrac{1}{x}\right)=22+\left(z+\cfrac{1}{x}\right)
$
移项得到
$
50\left(z+\cfrac{1}{x}\right)=22
$
最终解得 $z+\cfrac{1}{x}=\cfrac{11}{25}$。
### 总结
对于本题而言，三者相乘是一个不错的选择。通过对式子乘积的暴力拆开再利用 $xyz=1$ 的条件灵活进行转化，就可以得到一元一次方程求解。需要注意的就是不要加成 $23$ 了。