## 题目 ### 第一题 #完全平方 #二元二次方程 #知二求二 #分类讨论 #### 题面 若 $\begin{cases}a-b=5\\a^2+b^2=25\end{cases}$，求 $a^5+b^5$。 #### 解法 首先我们看到已知的信息，是不是很熟悉？是我们做过的「知二求二」。如果拼出 $a^2+b^2$ 呢？我们可以使用完全平方，因为 $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，因此我们对一式左右两边同时进行平方，得到 $a^2+b^2-2ab=a^2+b^2=25$，由此可以得到 $2ab=0$，即 $a$ 和 $b$ 中必然有一个为 $0$。 - 若 $a=0$，则 $b=-5$； - 若 $b=0$，则 $a=5$。 因此 $a^5+b^5$ 等于 $5^5$ 或 $-5^5$。 #### 总结 本题是对知二求二的再一次巩固。 ### 第二题 #高次方程 #因式分解 #大除法 #分组分解 #添项拆项 #十字相乘 #### 题面 已知 $x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0$，求 $x+\cfrac{1}{x}$ 的值。 #### 解法 首先我们发现 $x+\cfrac{1}{x}$ 不是方程左式的因式，因此本题只能将方程解出来然后代入 $x$ 的值进行计算。该如何解出方程呢？对于这种高次方程，我们很容易想到的一种求解方式就是对其进行因式分解。 观察系数，发现 $1-5+8-5+1=0$，因此 $x=1$ 为方程一解，即 $x-1$ 为其一因式。对其进行大除法，发现商也有一个因式为 $x-1$，再次进行大除法得到 $(x-1)^2(x^2-3x+1)=0$。解后面的一元二次方程，得到 $x=\cfrac{3\pm\sqrt 5}{2}$。 - 若 $x=1$，则 $x+\cfrac{1}{x}=1+1=2$； - 若 $x=\cfrac{3+\sqrt 5}{2}$，则 $x+\cfrac{1}{x}=\cfrac{3+\sqrt 5}{2}+\cfrac{2}{3+\sqrt 5}=\cfrac{3+\sqrt 5}{2}+\cfrac{6-2\sqrt 5}{4}=3$ ； - 若 $x=\cfrac{3-\sqrt 5}{2}$，则 $x+\cfrac{1}{x}=\cfrac{3-\sqrt 5}{2}+\cfrac{2}{3-\sqrt 5}=\cfrac{3-\sqrt 5}{2}+\cfrac{6+2\sqrt 5}{4}=3$。 因此，答案为 $2$ 或 $3$。 #### 总结 本题我们使用了传统的因式分解解方程求出 $x$ 的具体值，然后代入式子求值。因式分解我使用的是比较传统的大除法，因为两次都发现了因式 $x-1$。其实也可以使用拆项+分组分解法，也可以实现目的。 ### 第三题 #二次根式化简 #有理数 #无理数 #### 题面 已知 $a,b$ 均为有理数，满足 $a+\sqrt 3\cdot b=\sqrt 6\cdot\sqrt{1+\sqrt{4+2\sqrt 3}}$，求 $a+b$。 #### 解法 看到右边的一大坨根式，我们肯定不能是直接运算的，需要进行化简。首先看到最最里面的 $\sqrt{4+2\sqrt 3}$，我们将 $4$ 拆成 $\left(\sqrt 1\right)^2+\left(\sqrt 3\right)^2$，然后使用完全平方和公式得到 $(1+\sqrt 3)^2$，开根后是 $1+\sqrt 3$。 接着我们放入大的一个当中，变成了 $\sqrt{2+\sqrt 3}$。先整一个系数二出来好分一点，变成 $\sqrt{\cfrac{4+2\sqrt 3}{2}}$，然后你会发现又变成了上一个的样子，可以变成 $\cfrac{1+\sqrt 3}{\sqrt{2}}$，利用分数的基本性质得到 $\cfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$。 再把 $\sqrt 6$ 乘过来，得到 $\cfrac{\sqrt{12}+6}{2}$，也就是 $\cfrac{2\sqrt{3}+6}{2}$，即 $\sqrt{3}+3$。说明 $a+\sqrt 3\cdot b=3+\sqrt 3$。此时就毫无头绪了，这怎么求呢？求 $a+b$ 的值，要么就是作为一个整体进行计算，要么就是利用绝对值、平方、平方根等具有非负性的进行计算，可是这里根号下面塞得是负数，怎么办？ 再次观察题目，发现 $a,b$ 均为有理数被我们漏掉了。我们知道，$\sqrt 3$ 是无理数，而 $\sqrt 3$ 乘一个有理数仍然是物理数，也就是说这里 $\sqrt 3$ 只能由 $\sqrt 3\cdot b$ 得来，那么 $b=1$，则 $a$ 只能等于 $3$ 了。因此 $a+b=1+3=4$。 #### 总结 本题首先考研了二次根式的恒等变形，然后利用了做题人不仔细看题的漏洞使做题人陷入思维陷阱。此时就应重新读题，观察是否有遗漏信息，并利用遗漏信息进行补充思考。例如本题就是告诉我们 $a,b$ 都是有理数，因此就需要思考有理数与无理数之间的一些运算关系。 ### 第四题 #一元二次方程 #多项式 #整体代入 #### 题面 若 $x(5-x)=5$，求 $x^2+(5-x)^2$。 #### 解法 首先我们很容易想到一种简单粗暴的方法：解方程得到 $x$ 的值之后代入求值，但是这样子比较复杂，有很多多余的步骤。不过不管是哪一种方法都先需要对式子展开处理，因此我们先展开。 - 展开左式：$x(5-x)=5x-x^2=5$； - 展开右式：$x^2+(5-x)^2=x^2+25+x^2-10x=2x^2-10x+25$， 此时不难发现 $2x^2-10x=-2(5x-x^2)=-2\times 5=-10$，因此 $x^2+(5-x)^2=-10+25=15$。 #### 总结 这是一道开胃题，使用了多项式的整体代入来减少运算。