## 题目
### 第一题
#方程 #高次方程 #因式分解 #大除法 #分类讨论
#### 题面
解方程：$x^9+x^8=x^7+x^6$。
#### 解法
##### 解法一
首先我们一眼就能猛出一个解 $x=0$，因此进行分类讨论。
- 当 $x=0$，满足原方程，因此有一解 $x=0$；
- 若 $x\ne 0$，则原式两边同时除以 $x^6$，得到 $x^3+x^2=x+1$。
对于第二种情况，移项可以得到 $x^3+x^2-x-1=0$。这是一个高次方程，解决高次方程最简单的方式就是进行因式分解。
采用试根法发现 $x=1$ 是方程的其中一解，因此左式必定有一个因式 $x-1$。使用大除法进行因式分解就可以得到该式子等于 $(x-1)(x^2+2x+1)$。而 $x^2+2x+1=(x+1)^2$。
因此当 $x+1=0$ 时，原方程也成立。则本题共有三个解 $x=-1,0,1$。
##### 解法二
直接提一个公因式 $x^6$ 然后照常因式分解，就可以省去分类讨论的步骤，实际上本质是一样的。
#### 总结
对于这种高次方程，我们往往采用的是因式分解的方式。到中间我们无法分解时，就可以先试根再进行大除法进行因式分解。
### 第二题
#函数 #反比例函数 #三角形
#### 题面
在平面直角坐标系内，有一点 $A(-8,6)$。过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线段于点 $B$。现有一反比例函数 $y=\cfrac{k}{x}$ 过 $AO$ 上点 $D$ 且 $D$ 为 $AO$ 中点，过 $AB$ 上点 $C$，求 $S_{\Delta BOC}$。
#### 解法
首先我们需要求出 $D$ 的具体坐标才可以继续解题。由于 $O$ 为原点，因此 $AO$ 的中点 $D$ 实际上的坐标等于 ${} \left(\cfrac{-8}{2},\cfrac{6}{2}\right)$，即 $(-4,3)$。此时我们就很好求出反比例函数的解析式了。
代入 $x=-4,y=3$ 得 $3=\cfrac{k}{-4}$，解得 $k=-12$。又 $AB\bot BO$，因此 $C$ 的 $x$ 坐标同 $A$，即 $-8$。代入函数解析式得 $C$ 的 $y$ 坐标等于 $\cfrac{-12}{-8}=\cfrac{3}{2}$。
最后我们终于可以计算三角形的面积了，$S_{\Delta BOC}=\cfrac{1}{2}BO\cdot BC=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{3}{2}\times 8=6$ 。
#### 总结
本题较为简单，采用的是传统解法（可用于大多数反比例函数的题目）。首先在坐标轴上找出每个点的位置，然后利用这些点的坐标列出函数解析式的方程解出解析式，最后将数据代入解析式中进行计算即可。
### 第三题
#对数 #幂
#### 题面
已知 $2^a=3^b=6^c=10$，求 $\cfrac{ab}{ac+bc}$ 的值。
#### 解法
首先看到等式，我们可以使用对数函数来表示所有的字母
$
\begin{cases}
a=\log_2 10=\cfrac{\log 10}{\log 2} \\
b=\log_3 10=\cfrac{\log 10}{\log 3} \\
c=\log_6 10=\cfrac{\log 10}{\log 6}
\end{cases}
$
现在我们计算 $ac$、$bc$ 和 $ac$
$
\begin{cases}
ab=\cfrac{\log 10}{\log 2}\cdot\cfrac{\log 10}{\log 3}=\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3} \\
ac=\cfrac{\log 10}{\log 2}\cdot\cfrac{\log 10}{\log 6}=\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 6} \\
bc=\cfrac{\log 10}{\log 3}\cdot\cfrac{\log 10}{\log 6}=\cfrac{\log^2 10}{\log 3\cdot\log 6}
\end{cases}
$
然后代入要求的式子进行暴力化简计算
$
\begin{aligned}
\cfrac{ab}{ac+bc}&=\cfrac{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3}}{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 6}+\cfrac{\log^2 10}{\log 3\cdot\log 6}} \\
&=\cfrac{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3}}{\cfrac{\log^210}{\log 6}(\cfrac{1}{\log 2}+\cfrac{1}{\log 3})} \\
&=\cfrac{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3}}{\cfrac{\log^210}{\log 6}\cdot\cfrac{\log 3+\log{2}}{\log 2\cdot\log 3}} \\
&=\cfrac{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3}}{\cfrac{\log^2 10}{\log 2\cdot\log 3}} \\
&=1
\end{aligned}
$
就这样，通过我们强大的对数功底，我们成功地解决了这道题目。
#### 总结
本道题目较为传统，将所有字母均使用字母表示后代入要求解的式子，然后利用对数函数的运算规律以及我们代数的强大功底即可。
## 三角函数
### 诱导公式
口诀：**奇变偶不变，符号看象限。**
### 和差角公式
$
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
$
$
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
$
$
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
$
$
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
$
### 和差化积公式
口诀：**正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦。**